Class 11 Economics (BOOK 2)
Chapter - 5 : কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপ
চমু প্ৰশ্ন
১৷ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতা বুলিলে কি বুজা ?
উত্তৰ :- বাৰংবাৰতা বিভাজনৰ ক্ষেত্ৰত বিভাজনৰ অধিক সংখ্যক মান বিভাজনটোৰ কেন্দ্রভাগত থুপ খাই থাকে আৰু বাকী মানবোৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা সিঁচৰিতি হৈ থাকে তথ্য শ্ৰেণীৰ এই বৈশিষ্ট্যক কেতিয়া প্ৰবৃত্তি বা কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতা বুলি কোৱা হয়।বাহ্যিক ক্ষেত্ৰত আকৌ ও প্ৰকাৰৰ কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপ বা গড় প্ৰয়োগ কৰা হয় ৷
a. মাধ্য ৷
b. মধ্যমা বা মাধ্যিকী ৷
c. বহুলক ৷
(a) সমান্তৰ মাধ্য (A.M)
(b) গুণোত্তৰ মাধ্য (G.M)
(c) হাৰত্মক মাধ্য (H.M)
২৷ সমান্তৰ মাধ্য কি ? আলোচনা কৰা ? (A.M)
উত্তৰ :- বেছি সংখ্যা তথ্যৰাশি আৰু ডাঙৰ অংক থকা সংহতিৰ পৰা গাণিতিক মাধ্য কম সময়ত উলিয়াবলৈ সমান্তৰ মাধ্য ব্যৱহাৰ কৰা হয়। এই পদ্ধতিত ভিত্তিত তথ্যৰাশিৰ মাজৰ পৰা এটা নির্দিষ্ট অংক গাণিতিক মাধ্য হিচাপে ধৰি লোৱা হয়। ইয়াৰ পিছত প্ৰতিটো তথ্যৰাশিৰ অনুমতি মাধ্যৰ পৰা বিচলন উলিয়াই বিচলনসমূহৰ যোগফলক তথ্যৰাশিৰ সংখ্যাৰে হৰণ কৰা হয়।
ইয়াৰ গুণ আৰু দোষসমূহ হ’ল-
গুণসমুহ :-
(i) সমান্তৰ মাধ্য নিৰ্ণয় কৰিব সহজ আৰু বুজিবলৈও সহজ ৷
(ii) সমান্তৰাল মাধ্যৰ সূত্ৰত বিভাজনৰ সকলো মানৰ প্ৰয়োগ হয়।
(iii) সমান্তৰ মাধ্যৰ ক্ষেত্ৰত গাণিতিক প্ৰয়োগৰ সম্প্ৰসাৰণ কৰিব পাৰি ।
(iv) সমান্তৰ মাধ্য নির্ণয় কৰিবৰ বাবে সাংখ্যিক তথ্যসমূহ কোনো ৷ নির্দিষ্টক্ৰমত সজাই লোৱাৰ দৰকাৰ নহয় ।
(v) সমান্তৰ মাধ্যত দুই বা তাতোধিক বাৰংবাৰতা বিভাজনৰ তুলনা কৰিব পাৰি ।
দোষসমূহ :-
(i) চৰম মানে (extreme value) সমান্তৰ মাধ্যৰ ওপৰত আটাইতকৈ বেছি প্রভাৱ বিস্তাৰ কৰে ৷
(ii) কেৱল যদি এটা মানো কেনেবাকৈ হেৰায় তেতিয়াও সমান্তৰ মাধ্য নির্ণয় কৰিব নোৱাৰি ।
(iii) বগীকৃত সামগ্ৰীৰ সমান্তৰ মাধ্য নির্ণয় কৰিব নোৱাৰি ।
ভাৰিত সমান্তৰ মাধ্য :- কোনো শ্ৰেণীৰ ৰাশিবোৰৰ আপেক্ষিক গুৰুত্বৰ কৰা বিবেচনা কৰি সেই অনুপাতে উপযুক্ত ভাৰ আৰোপ কৰি নিৰ্ণয় কৰা সমান্তৰ মাধ্য বা ভাৰিত সমান্তৰ মাধ্যবোলে ।
৩। মাধ্যমা কাক বোলে ? ইয়াক গুণ/দোষ নিৰূপন কৰা হয় ।
উত্তৰ :- কোনো বিভাজনৰ মানসমূহ নির্দিষ্ট ক্ৰমত সজালে যিটো মানে বিভাজনটোৰ মানসমূহক সমানে দুটা ভাগত বিভক্ত কৰে সেই মানটোকে সেই বিভাজনৰ মাধ্যমা বা মাধ্যিকী বোলে ।
গুণ :-
(i) চৰম (extrem) মানে মাধ্যমাৰ পৰিবৰ্ত্তন নঘটায় ।
(ii) মাধ্যমা বুজিব আৰু নিৰ্ণয় কৰিবলৈও সহজ ।
(iii) লেখৰ সহায়ত মাধ্যমা নিৰূপন কৰিব পাৰি ।
(iv) একক আৰু বিচ্ছিন্ন শ্ৰেণীৰ ক্ষেত্ৰত নিৰীক্ষণৰ জৰিয়তেই মাধ্যমা নির্ণয় কৰিব পাৰি ।
মাধ্যমাৰ দোষ :-
(i) মধ্যমা নিৰ্ণয় কৰিবলৈ হ’লে প্ৰথমতে বিভাজনটোৰ মানসমূহ নির্দিষ্ট ক্ৰমত সজাই ল’ব লগা হয় ।
(ii) সীমিত ক্ষেত্ৰতহে গাণিতিক প্ৰয়োগৰ সম্প্ৰসাৰণ ঘটাবৰ বাবে মাধ্যমা উপযোগী ।
(iii) বিভাজনৰ সকলো মানৰ ওপৰত মাধ্যমা নিৰ্ভৰশীল নহয় ।
(iv) মাধ্যমাৰ তুলনাত পৰিদৰ্শন ভেদে মাধ্যমাৰ পাৰ্থক্য বেছি ।
৪৷ বহুলক কি ? ইয়াৰ গুণ আৰু দোষবোৰ আলোচনা কৰা ?
উত্তৰ :- কোনো বিভাজনৰ যিটো মানৰ বাৰংবাৰতা আটাইতকৈ বেছি সেইটো মানকে বিভাজনটোৰ বহুলক বোলে ।
ইয়াৰ গুণসমূহ :-
(i) বিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিভাজনৰ ক্ষেত্ৰত বিভাজনটো নিৰীক্ষণ কৰিয়েই বহুলক নির্ণয় কৰিব পাৰি ।
(ii) চৰম মানে বহুলকৰ ওপৰত প্ৰভাৱ বিস্তাৰ কৰিব নোৱাৰে ।
(iii) সমান্তৰ মাধ্যমৰ দৰে কোনো বিভাজনৰ বহুলক আৰু বিভাজনটোৰ মুঠ মানৰ সংখ্যা জনা থাকিলে বিভাজনটোৰ মানসমূহৰ নিৰ্ণয় কৰিব নোৱাৰি ।
৫। মাধ্য, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ সম্পৰ্ক কি ?
উত্তৰ :- বহুলক = 3 মাধ্যমা – 2 মাধ্য
৬। চতুর্থক কাক বোলে ?
উত্তৰ :- উৰ্দ্ধক্ৰমত থকা কোনো বিভাজনৰ মানসমূহক যি তিনিটা মানে সমানে চাৰি ভাগত ভাগ কৰে, সেই মানকেইটাকে সেই বিভাজনৰ চতুৰ্থক বোলে ।
৭। গুণোত্তৰ মাধ্য কি ? ইয়াৰ ধৰ্ম আৰু গুণ দোষবোৰ লিখা ।
উত্তৰ :- ধৰা হ’ল, চলক xএ, x1x2…xn মান লয়। এতিয়া এই মানসমূহৰ পূৰনফলৰ n তমমূলক গুণোত্তৰ মাধ্য বুলি কোৱা হয় ।
শুনোত্তৰ মাধ্যৰ ধৰ্ম :- কোনো শ্রেণী বা বিভাজনৰ মানসমূহৰ গুণোত্তৰ মাধ্যৰ ঘাতাংক সেই মানসমূহৰ ঘাতংক সেই মানসমূহৰ ঘাতাংকৰ সমান্তৰ মাধ্যৰ সমান ।
গুণবোৰ :-
(i) ইয়াৰ সংজ্ঞা দৃঢ় ৷
(ii) ই বিভাজনটোক ভালদৰে প্রতিনিধিত্ব কৰে ।
(iii) গাণিতিক প্ৰয়োগৰ সম্প্রসাৰণ ঘটাব পাৰি ।
(iv) চৰম মানৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱান্বিত নহয় ।
দোষবোৰ :-
(i) গুণোত্তৰ মাধ্য গণনা কৰাত সহজ নহয় ।
(ii) সহজে বোধগম্য নহয় ৷
(iii) আটাইবিলাক মান ধনাত্মক নহলে শুনোত্তৰ মাধ্য গণনা কৰিব নোৱাৰি ।
৮। হৰাত্মক মাধ্য কি ? ইয়াৰ গুন আৰু দোষবোৰ লিখা ?
উত্তৰ :- কোনো বিভাজন মানসমূহৰ প্ৰতিসমবোৰৰ সমান্তৰ মাধ্যৰ প্ৰতিসমেই হ’ল সেই বিভাজনৰ হৰাত্মক মাধ্য ৷
গুণবোৰ :-
(i) হৰাত্মক মাধ্য কি বিভাজনৰ সকলো মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল ।
(ii) গাণিতিক প্ৰয়োগৰ সম্প্ৰসাৰন ঘটাব পাৰি ।
(iii) হৰাত্মক মাধ্যই বেছি শুদ্ধ উত্তৰ দিয়ে ।
দোষবোৰ :-
(i) হৰাত্মক মাধ্য সহজতে বুজা নাযায় ।
(ii) নির্ণয় কৰোতে জটিল ।
(iii) হৰাত্মক মাধ্যই সৰু মানবোৰক বেছি গুৰুত্ব দিয়ে ।
(iv) বিভাজনৰ এটা বা তাতোধিক মানশূন্য হ’লে হৰাত্মক মাধ্য গননা কৰিব নোৱাৰি ।
৯। যুগ্ম গাণিতিক মাধ্যৰ সূত্ৰটো লিখা :
N₁X₁+N₂ x₁
উত্তৰ :- X₁₂ = ………………….
N₁+N₂
১০। ভাৰযুক্ত গাণিতিক মাধ্যৰ সূত্ৰটো লিখা ।
ΣWX
উত্তৰ :- Xᵥᵥ =………….
ΣW
১১। গাণিতিক মাধ্যৰ সূত্ৰসমূহ লিখা ।
উত্তৰ :- সূত্ৰসমূহ হ’ল-
a) প্রত্যক্ষ পদ্ধতি :-
ΣX
X = …………, য’ত
N
N= সংখ্যাৰ পৰিমাণ
ΣX= ৰাশি সমূহৰ যুগ ফল
b) চুটি পদ্ধতি :-
Σdx
X = A+ ……. য’ত
N
A= অনুমিত মাধ্য
Σd= x-A= বিচলনৰ যুগফল
c) উপ-বিচলন পদ্ধতি :-
Σfx
X =A+……. য’ত
N
X = মধ্য বিন্দু
C= শ্ৰেণী অন্তৰালৰ পদ্ধত
১২। গাণিতিক মাধ্যৰ সূত্ৰসমূহ লিখা ।
উত্তৰ :- সূত্ৰসমূহ হ’ল-
Σfx
a) X= ……. (প্রত্যেক্ষ পদ্ধতি)
N
Σfd
b) X= A+……….. (চুটি পদ্ধতি)
N
Σfd’x
c) X= A+………..×C (উপবিচলন পদ্ধতি)
N
১৩। সমূহীত তথ্যৰ গড় উলিওৱা সূত্র সমূহ কি কি ?
উত্তৰ :- The formulas are-
Σfx
a) X=A+……….. (প্রত্যক্ষ পদ্ধতি)
N
Σfdx
b) X=A+…………. (চুটি পদ্ধতি)
N
Σfdx’
c) X=A+……………+C (উপৰিচলন পদ্ধতি)
N
১৪। মধ্যমা নিৰ্ণয় কৰা সূত্ৰসমূহ কি কি ?
উত্তৰ :- মধ্যমা = ( N+1)ᵗʰ আকাৰ (যদি ৰাশিসমূহ অযুগ্ম হয়)
……………………………
2
মধ্যমা = (N/2)ᵗʰ আকাৰ (যদি ৰাশিসমূহ যুগ্ম হয়)
১৫। সমূহীত তথ্যৰ মধ্যমা উলিওৱা সূত্ৰটো লিখা ।
N/2-cf
উত্তৰ :- মধ্যমা (Md)= 1₁+…………..×i
f
য’ত L₁ = শ্ৰেণী অন্তৰালৰ নিম্ন মান
cf = মধ্যমা শ্ৰেণীৰ সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা
f = মধ্যমা শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা
i = শ্ৰেণী অন্তৰালৰ পাৰ্থক্য
১৬। চতুর্থাংশক নিৰ্ণয়কৰ সূত্ৰ সমূহ কি কি ?
Ans :- প্রথম চতুর্থাংশক Q₁
N/4-cf
Q₁=L₁+…………xi
f
3N/4-cf
তৃতীয় চতুথাংশক Q₃=L₁+…………….xi
f
১৭। সমূহীত তথ্যৰ বহুলক উলিওৱা সূত্ৰটো লিখা ।
Ans :-
f₁-fₒ
বহুলক (Z) =Mₒ=1₁+……………..×i
2f₂-fₒ-f₂
য’ত
I₁হবগৈ = বহুলক শ্ৰোগীৰ নিম্ন মান
f₁ = বহুলক শ্ৰেণীৰ বৰংবাৰতা
fₒ = বহুলক শ্ৰেণীৰ আগৰ শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা
f₂ = বহুলক শ্ৰেণীৰ পিছৰ শ্ৰেণীৰ বাৰবোৰতা
i = শ্ৰেণী অন্তৰালৰ পাৰ্থক্য
অথবা,
Δ₁
Z=I₁+…………….×i
Δ₁+Δ₂
য’ত Δ₁=|f₁ -fₒ|
Δ₂=|f₁ -f₂|
১৮। তলত দিয়া তথ্যখিনিৰ গাণিতিক মাধ্য যদি 28 হয়,
(a) বাদ পৰা বাৰংবাৰতা । আৰু
(b) মধ্যমা নির্ণয় কৰা,
প্ৰতিখন খুচুৰা 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
দোকানৰ লাভ
(টকাৰ হিচাপত)
খুচুৰা দোকানৰ সংখ্যা 12 18 27 – 17 6
উত্তৰ :- গণনাৰ বাৰে তলৰ তালিকা খন প্ৰস্তুত কৰা হ’ল-
| শ্ৰেণী অন্তৰাল | বাৰংবাত (f) | মধ্যবিন্দু ( x’ ) | Fx’ |
| 0-10 | 12 | 5 | 60 |
| 10-20 | 18 | 15 | 270 |
| 20-30 | 27 | 25 | 675 |
| 30-40 | ? | 35x | 35x |
| (x ধৰাহ’ল) | |||
| 40-50 | 17 | 45 | 765 |
| 50-60 | 6 | 55 | 330 |
ইয়াত
দিয়া আছ AM=28
Σf=N=80+x
Σ f x’ =2100+35x
(a) আমি জানো যে-
Σfx’
X(AM)=………..
Σf
2100+35x
⇒ 28 =………………..
80+x
⇒ 28(80+x)=2100+35x
⇒ 2240+28x=2100+35x
⇒ 140=7x ⇒x =20
∴ বাদ পৰা বাৰবোৰতাৰ মান হ’ল (x)=20